Случайная погрешность
Наличие случайных погрешностей в результате при повторении измерений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности всегда будут присутствовать в результате измерений.
Характером проявления случайной погрешности определяется и способ их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей.
Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности является закон распределения, представляющий собой зависимость вероятности появления случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство результатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения:
, (4.5)
где W(D) – плотность вероятности случайной погрешности отдельного измерения , это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений;
s – параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х0, называют средним квадратическим отклонением случайной величины измерения;
- математическое ожидание результатов наблюдений.
, s – являются точечными оценками случайной погрешности.
При случайных погрешностях результат каждого измерения Хi будет отличаться от истинного значения Х0
измеряемой величины:
(4.6)
Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения (результата наблюдения).
Истинное значение Х0 неизвестно, поэтому на практике его заменяют наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на основании экспериментальных данных.
Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметического большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.
(4.7)
где n – число измерений.
(4.8)
где xi – численный результат отдельного измерения;
n – число измерений.
Характер кривых, описываемых (4.5), показан на рисунке 4.1а для трёх значений s. Функция (4.5) графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке D=0, а величина этого максимума . Как видно из рисунка 4.1, чем меньше s, тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.
Рисунок 4.1 |
Вероятность появления погрешности в пределах между D1 и D2
определяется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б, т.е. определённым интегралом от функции W(D):
(4.9)
Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов D1=–¥ и D2=+¥, равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от –¥ до +¥ равна единице.
Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:
(4.10)
Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы ±s. С вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах ±3s, т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую ±3s. Это соотношение называется законом трёх сигм.
Так как на практике число измерений не превышает нескольких десятков, то появление погрешности равной ±3s , маловероятно. Поэтому погрешность ±3s считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3s считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.
В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)
(4.11)
где - оценка средней квадратической погрешности ряда из n измерений.
Рассмотренные оценки результатов измерений , s, выражаемые одним числом, называют точечными оценками. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значение измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности a того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на D.
Это можно записать в виде
(4.12)
Вероятность a называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а интервал значений от –D до +D — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности
(4.13)
где tα(n) - табулированный коэффициент распределения Стъюдента, который зависит от доверительной вероятности a и числа измерений n, значения которого можно найти в математических справочниках.
Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками.
Похожие материалы:
Оставить комментарий